Mathématiques
Ibn Al-Banna al-Marrakouchi
IBN Al-Banna est aussi connu comme Aboul-Abbas Ahmed ibn Mohammad ibn othmane al-Azdi (né le 29 décembre 1256 à Marrakech, mort en 1321 à Marrakech, Maroc). On ne sait pas si Al-Banna est né dans la ville de Marrakech ou dans sa région. Il y a une autre version qui dit que Al-Banna était né à Grenade en Andalousie et avait déménagé au Maroc. Ce qui est certain, c'est qu'il avait passé la totalité de sa vie au Maroc.
Les Marinais étaient les alliés des Umayyads, califes de Cordoba. Il vivaient dans l'Est du Maroc, puis sous les ordres de leur chef Abou Yahya, ils commençaient a conquérir la région. Les Marinais ont conquis Fès en 1248 et celle-ci devint leur capitale, puis Marrakech en 1269 qui était sous le règne des Almohades. De cette façon, ils ont pris le contrôle du Maroc. Les Marinais essayaient d'aider Grenade contre l'avancée des Chrétiens sur l'Andalousie. Le lien fort entre Grenade et le Maroc donnait peut-être la confusion à propos du pays natal d'Al-Banna.
C'est au Maroc qu'Al-Banna avait été éduqué et avait appris les techniques mathématiques de la période. Il a étudié la géométrie en général, et les Eléments d'Euclide en particulier. Il a aussi étudié les nombres fractionnels et les impressionnantes contributions que les Arabes avaient établies en mathématiques 400 ans auparavant. Les Marinais vénéraient la culture et Fès était leur centre du savoir. A l'université Al Karawiyyine à Fès, Al-Banna étudiait toutes les branches des mathématiques, qui en ce temps incluaient l'arithmétique, l'algèbre, la géométrie et l'astronomie. Fès était une ville prospère avec un nouveau quartier à côté du palais royal joignant la grande Mosquée. Beaucoup d'étudiants apprenaient sous la direction d'Al-Banna dans cette prospère communauté académique.
Il est clair qu'Al-Banna a écrit un grand nombre de travaux. Effectivement, 82 ouvrages sont classés par Renaud. Pas tous sur les mathématiques, mais les textes mathématiques incluent une introduction sur les Eléments d'Euclide, un texte d'algèbre et des travaux variés sur l'astronomie. Une difficulté avec les travaux sur les mathématiques montre que la matière qu'Al-Banna présente est originale et que sa version est simplement un travail des premiers mathématiciens arabes qui a été perdu. Le travail d'Al-Banna ne présente certainement pas d'originalité. En effet, le style de son écriture suggérerait qu'il rassemble des idées qu'il avait étudiées chez les autres mathématiciens.
Deux "premières" pour Al-Banna : il semble être le premier à avoir considéré une fraction comme un rapport entre deux nombres et il est également le premier à avoir utilisé l'expression almanakh (en arabe al-manakh veut dire le climat) dans un travail contenant des données astronomiques et météorologiques.
Talkhis amal al-hisab (Sommaire des opérations arithmétiques) est peut-être le travail le plus fameux d'Al-Banna et Raf al-Hijab est son propre commentaire sur Talkhis amal al-hisab. C'est dans ce travail que Al-Banna introduit quelques notations mathématiques qui avaient poussé certains auteurs à croire que le symbolisme algébrique était en premier développé par Ibn Al-Banna et Al-Qalasadi.
Il y a beaucoup d'idées mathématiques intéressantes dans le livre Raf al-Hijab. Par exemple, il contient les fractions continues qui sont utilisées pour le calcul approximatif des racines carrées.
Peut-être le plus intéressant de tout de ce travail repose sur les coefficients binomiaux. Si on dénote les coefficients binomiaux "p choisir k" par (p;k), on obtient :
(p;2) = p(p-1)/2 puis (p;3) = (p;2)(p-2)/3
Al-Banna écrit par exemple :
"...la combinaison ternaire est donc obtenue par la multiplication du troisième terme du nombre donné qui suit ; et donc nous multiplions toujours la combinaison qui précède par la combinaison cherchée par le nombre qui précède le nombre donné, et dont la distance par rapport à lui est égale au nombre de combinaisons cherchées. Du produit nous prenons la partie qui nomme le nombre de combinaisons."
Bien qu'il y ait une petite difficulté dans l'interprétation de ce que Al-Banna précise ici, ce dernier désigne que :
(p;k) = (p;k-1)(p-(k-1))/k
Par la suite, il donne le résultat qui nous est familier :
(p;k) = (p(p-1)(p-2)...(p-k+1))/k!
Rashed indique que cela représente un petit pas des résultats du triangle de Pascal donnés trois cents années plut tôt par Al-Karaji, puis encore une centaine d'années auparavant par Al-Samawal. Cependant, Rashed écrit :
"... dans notre opinion, il y a quelque chose de plus fondamental que les résultats du [triangle de Pascal]; c'est précisément l'apparence combinatoire de l'exposition de ibn Al-Banna, ensemble avec la relation qu'il établit partiellement entre les nombres polygonaux et les combinaisons. Cela concerne, en premier lieu, les nombres triangulaires et les combinaisons de p objets en deux, et ensuite les nombres polygonaux d'ordre 4 et les combinaisons de p objets en trois."
Note :
Mohamed ABALLAGH : Raf al-hijab an wujuh a'mal al-hisab li Ibn al-Banna al-Murrakushi (721/1321) [Le lever du voile sur les opérations du calcul d'Ibn al-Banna de Marrakech], Fès, Publications de la faculté des lettres et sciences humaines Zhar al-Mahraz, n°5,1994, 360 pp.
Ce livre, écrit en arabe, est centré sur un traité philosophico-mathématique du XIVe siècle du mathématicien maghrébin Ibn al-Banna (1256-1321) qui s'était rendu célèbre, durant des siècles, grâce à un petit manuel intitulé le Talkhis a' mal al-hisab [L'Abrégé des opérations du calcul] dont le Raf' al-hijab se veut un commentaire. Ce sont d'ailleurs les critiques dirigées contre certains passages du manuel qui auraient motivé la publication du livre. Dans ce dernier, l'auteur reprend le contenu de la thèse qu'il a soutenue en 1988 à l'Université de Paris I, à l'exclusion de la traduction française du traité. On y retrouve en effet l'introduction (pp. 17-93), l'édition critique du traité basé sur huit manuscrits (pp. 189-317), la transcription mathématique moderne de son contenu (pp. 95-198), un index terminologique et une bibliographie générale. A cela, l'auteur a ajouté une présentation (pp. 7-16) et trois autres index pour les noms propres, les titres des ouvrages et les noms de lieux.
L'introduction rassemble, sous trois rubriques essentielles, les résultats des investigations menées par l'auteur à la fois à travers les nombreuses publications consacrées à Ibn al-Banna et, surtout, à travers des sources inédites, biobibliographiques, mathématiques et philosophiques.
Dans la première partie de cette introduction, l'auteur fait d'abord le point sur les travaux réalisés autour de la vie et de la formation d'Ibn al-Banna, en exploitant essentiellement les recherches entreprises par H.P.-J. Renaud dans les premières décennies de ce siècle, puis il présente les résultats des recherches de ces vingt dernières années qui ont concerné les écrits mathématiques du savant de Marrakech mettant ainsi en valeur un regain d'intérêt pour l'histoire des activités scientifiques du Maghreb médiéval.
La seconde partie qui est consacrée à la biographie et à la bibliographie d'Ibn al-Banna utilise des sources inédites, comme l'extrait du Tamhis d'Ibn Haydur ou les ouvrages d'auteurs maghrébins peu connus, comme ash-Shatibi et Ibn Tijillat. L'exposition de ces sources a permis de préciser les titres de certains écrits mathématiques d'Ibn al-Banna et, sur le plan théologique, de confirmer l'expérience mystique de ce mathématicien qui éclaire certains aspects de son activité scientifique.
Dans la troisième et dernière partie, l'auteur s'appuie sur le Talkhis d'Ibn al-Banna dont certaines définitions sont à l'origine des réflexions philosophiques du Raf' al-hijab pour dégager les raisons qui ont motivé la rédaction de ce dernier ouvrage : explication de certains concepts mathématiques, comme le nombre, l'unité, la base, l'infini, les fractions, justifications des formulations utilisées par l'auteur pour définir ce concept et, enfin, défense des choix mathématiques d'Ibn al-Banna dans un cadre philosophique et religieux bien déterminé.
Tirant profit de sa connaissance approfondie de la tradition philosophique arabe de l'Orient et de l'Occident musulman, l'auteur réussit à repérer toutes les sources classiques utilisées par Ibn al-Banna dans son argumentation, révélant ainsi, pour la première fois à notre connaissance, la persistance d'une certaine influence philosophique sur les milieux scientifiques maghrébins jusqu'au XIVe siècle et ce, malgré le retour en force de l'orthodoxie malékite post-almohade. Mais, dans le même temps, l'auteur met en lumière l'intervention, dans un texte mathématique, d'une argumentation de type théologique.
Ces résultats significatifs confirment la nécessité d'exploiter les corpus théologique, juridique et philosophique maghrébins dans l'espoir de pouvoir cerner un jour les éléments essentiels du débat autour de certaines questions liées aux fondements des mathématiques, débats qui ont existé mais que, dans les meilleurs des cas, les textes mathématiques arabes qui nous sont parvenus n'ont fait qu'effleurer.
La troisième et dernière partie du livre est consacrée à l'analyse mathématique. Les résultats de cette analyse concernent essentiellement les contributions originales d'Ibn al- Banna confirmant ainsi la persistance, au Maghreb et jusqu'à la fin du XIIIe siècle, d'une tradition de recherche en mathématique. Par ailleurs, la lecture suggère de nouveaux champs de recherche qui concernent, en premier lieu, les sources mathématiques à la fois du Talkhis et du Raf' al-hijab, en second lieu, la nature des relations ayant existé entre la tradition mathématique maghrébine d'un côté et, de l'autre, les deux traditions-mères d'Orient et d'al-Andalus et, en troisième lieu, le rôle du Talkhis et du Raf' al-hijab dans la prédominance d'une certaine mathématique dont le contenu de la pédagogie qui l'accompagne va caractériser la tradition mathématique maghrébine postérieure au XIVe siècle.
Les matériaux que renferment cet ouvrage en font un instrument indispensable dans la poursuite des recherches dans des secteurs encore inexplorés ou peu connus des traditions philosophiques et mathématiques d'al-Andalus et du Maghreb. C'est pourquoi, il est à regretter que l'auteur n'ait pu accompagner son édition du texte de sa traduction française qui a pourtant constitué une partie essentielle de la thèse et qui peut rendre des services à des utilisateurs non arabophones.
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